Aufgabe: Monte Carlo Berechung von Pi

Direct Sampling

Berechnen Sie durch direktes Sampling$ \pi $:

  • Sampeln Sie$ n $-Vectoren$ \vec x = (x_1, x_2) $, die in das Einheits-Quadrat fallen mit$ x_i \sim Uniform[0,1) $
  • Berechnen Sie mit deren Hilfe die Kreiszahl$ \pi $.

    • Beachten Sie, dass das Verhältnis der Fläche innerhalb eines Viertel des Einheitskreises $ r=1 $) zu dem umgebenden Einheits-Quadrat$ \pi/4 $ ist. Durch Gleichsetzen dieses Verhältnis mit dem Verhältnis der Vektoren, die in den Einheitskreis fallen, zur Gesamtzahl der Vektoren erhalten Sie einen Schätzwert für$ \pi $.

b) Plotten Sie die Verteilung der erhaltenen$ \pi $-Werte als Histogramm für verschiedene Werte von$ n = [10^3, 10^5] $. Die verschiedenen$ \pi $-Werte erhalten Sie dadurch, dass Sie die Berechnung mehrmal ausführen. Geben Sie außerdem die empirische Standardabweichung für die geschätzten Werte von$ \pi $ an.

MCMC Sampling zur Berechung von Pi

Nutzen Sie eine Markov Kette zur Berechung von$ \pi $:

  1. Starten Sie mit einem$ \vec x = (x_1, x_2) $, der in das Einheits-Quadrat fällt.
  2. Erzeugen Sie ein neues Sample aus dem vorherigen Sample-Wert:
  • z.B.$ \vec x^{(t+1)} = \vec x^{(t)} + \mathcal N(\vec 0, \mathbb 1 \sigma^2) $ mit$ \mathbb 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ mit kleinem$ \sigma $,
  • falls$ \vec x^{(t+1)} $ außerhalb des Einheits-Quadrats ist: Setzen Sie $ \vec x^{(t+1)} = \vec x^{(t)} $
  1. gehen Sie solange zu 2. bis die gewünschte Anzahl von Samples vorhanden sind.

Berechnen Sie aus den Samples die Kreiszahl$ \pi $.